集合的并集与交集

1.并集和交集概念

1.1并集和交集的定义

[注意] (1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是由两个集合确定一个新的集合，不同点是生成新集合的法则不同．

1.2并集和交集的性质

2.典例分析

2.1并集的概念及运算

设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；

[思路分析] 由定义直接求解

[解析] A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．

『规律方法』　并集运算应注意的问题

(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．

(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．

(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．

2.2交集的概念及其运算

设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝( B )

A．{－1,0,1} B．{0,1}

C．{1} D．{0}

[思路分析] 先求出集合N中的元素再求M、N的交集

[解析] N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．

『规律方法』　求集合A∩B的方法与步骤

(1)步骤

①要搞清集合A、B的代表元素是什么；

②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；

③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)．

(2)方法

①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．

②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．

2.3集合交集、并集运算的性质及应用

已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．

(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；

(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．

[解析] 由已知得M＝{2}，

(1)当m＝2时，N＝{1,2}，

所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．

(2)若M∩N＝M，则M⊆N，

∴2∈N，

所以4－6＋m＝0，m＝2.

『规律方法』　利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点

(1)方法利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B．

(2)关注点当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解．

2.4集合运算时忽略空集致错　　

集合A＝{x|  －3x＋2＝0}，B＝{x|  －2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．

[错因分析] A∩B＝B⇔A⊇B．而B是二次方程的解集，它可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可以等于A．

[思路分析] A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．

[正解] 由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，当B＝∅时， 

－4(a－1)<0，解得a>2；

当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；

当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意；当1∈B且2∈B时，此时a无解．，a≥2.